Comportement periodique des fonctions a seuil binaires et applications

Soit (α_ij) une matrice symétrique n×n, à éléments réels, b un vecteur réel à n composantes et {up triangle, open} l'application de {0, 1)ⁿ dans lui-même, où la i-ème composante est une fonction à seuil avec séparateurΣⁿ_j=1α_ijy_j<b_i(y_j=0,1). Dans ce papier nous démontrons que la composition successive de △ par elle-même, n'a, en régime stationnaire, que des points fixes où des cycles de longueur deux. Ceci englobe le comportement périodique d'une certaine classe d'automates cellulaires et des modèles en dynamique des groupes pour lesquels existaient seulement des résultats particuliers (1,4,5,6). Let (α_ij) be a symmetric real n×n matrix and b a real n-vector. Let △ be a function from {0, 1}ⁿ to itself, whose ith component is the threshold function with separator Σⁿ_j=1α_ijy_j<b_i(y_j=0,1). It is shown that the repeated application of △, leads either to a fixed point or to a cycle of length two. This includes the periodic behaviour of a class of cellular automata and some models in groups dynamics (1,4,5,6).